Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),}$

ein Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$. Es sei ${\displaystyle {}(t_{0},w)\in I\times U}$ eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen

${\displaystyle \varphi _{n}\colon I\longrightarrow V}$

durch ${\displaystyle {}\varphi _{0}=w}$ (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert ${\displaystyle {}w}$) und durch

${\displaystyle {}\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))ds\,.}$

Dann gibt es ein Teilintervall ${\displaystyle {}{]a,b[}\subseteq I}$ mit ${\displaystyle {}t_{0}\in {]a,b[}}$ derart, dass für ${\displaystyle {}t\in {]a,b[}}$ die Folge ${\displaystyle {}\varphi _{n}(t)}$ gegen einen Punkt ${\displaystyle {}\varphi (t)}$ konvergiert (man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen). Diese Grenzfunktion ${\displaystyle {}\varphi }$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.}$

Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz ${\displaystyle {}I}$.