Es sei

${\displaystyle y'=g(t)y+h(t)}$

eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen ${\displaystyle {}g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$. Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}g}$ und es sei

${\displaystyle {}a(t)=\exp(G(t))\,}$

eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.

Dann sind die Lösungen (auf ${\displaystyle {}I}$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

wobei ${\displaystyle {}c(t)}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {h(t)}{a(t)}}}$ ist.

Das Anfangswertproblem

${\displaystyle y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}}$

(mit ${\displaystyle {}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R} }$) besitzt eine eindeutige Lösung.