Da ${\displaystyle {}a(t)}$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede (differenzierbare) Funktion

${\displaystyle y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

als

${\displaystyle {}y(t)=c(t)a(t)\,}$

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ${\displaystyle {}c(t)}$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle {}y}$)

${\displaystyle {}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.}$

Daher kann man die Lösungsbedingung

${\displaystyle {}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,}$

als

${\displaystyle {}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,}$

schreiben, und diese gilt wegen ${\displaystyle {}a'(t)=g(t)a(t)}$ genau dann, wenn

${\displaystyle {}c'(t)a(t)=h(t)\,}$

bzw.

${\displaystyle {}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,}$

gilt. D.h. ${\displaystyle {}c(t)}$ muss eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {h(t)}{a(t)}}}$ sein. Es sei nun noch die Anfangsbedingung ${\displaystyle {}y(t_{0})=y_{0}}$ vorgegeben. Mit ${\displaystyle {}c(t)}$ ist auch ${\displaystyle {}c(t)+c_{0}}$ für jedes ${\displaystyle {}c_{0}\in \mathbb {R} }$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {h(t)}{a(t)}}}$. Die Bedingung

${\displaystyle {}y_{0}={\left(c(t_{0})+c_{0}\right)}a(t_{0})\,}$

legt dann ${\displaystyle {}c_{0}}$ eindeutig fest.