Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt

Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist trigonalisierbar.

Es gibt eine ${}\varphi$ -invariante Fahne.

Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Das Minimalpolynom ${}\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix (es sei ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$ ) ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen

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