Sei ${\displaystyle {}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)}$. Es sei ${\displaystyle {}U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V}$ der Kern der Abbildung und ${\displaystyle {}k=\operatorname {dim} _{}\left(U\right)}$ seine Dimension (${\displaystyle {}k\leq n}$).

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k}}$

Basis von ${\displaystyle {}U}$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n-k}}$

derart, dass

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}}$

eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ ist. Wir behaupten, dass

${\displaystyle w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,}$

eine Basis des Bildes ist. Es sei ${\displaystyle {}w\in W}$ ein Element des Bildes ${\displaystyle {}\varphi (V)}$. Dann gibt es ein ${\displaystyle {}v\in V}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (v)=w}$. Dieses ${\displaystyle {}v}$ lässt sich mit der Basis als

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}}$

schreiben. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}}$

so dass sich ${\displaystyle {}w}$ als Linearkombination der ${\displaystyle {}w_{j}}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der ${\displaystyle {}w_{j}}$, ${\displaystyle {}j=1,\ldots ,n-k}$, sei eine Darstellung der Null gegeben,

${\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}.}$

Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.}$

Also gehört ${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}}$

schreiben. Da insgesamt eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten ${\displaystyle {}0}$ sein müssen, also sind insbesondere ${\displaystyle {}t_{j}=0}$.