Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe über ${}K$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}G$ ist linear reduktiv.

Zu jeder ${}K$ -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorraum ${}V$ besitzt ${}V^{G}\subseteq V$ ein eindeutig bestimmtes ${}G$ -Komplement ${}W\subseteq V$ . Dabei gilt ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$ .

Zu jeder ${}K$ -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorraum ${}V$ und jedem ${}v\in V^{G}$ , ${}v\neq 0$ , gibt es eine ${}G$ -invariante Linearform ${}f\in {V}^{*}$ mit ${}f(v)\neq 0$ .

Zu jeder ${}K$ -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorraum ${}V$ und jedem ${}G$ -Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt es ein ${}G$ -Komplement.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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