Was hat eine Entfaltung mit einer „Funktionenschar“ zu tun?

Bestimme die Rechtsäquivalenzklassen in der Entfaltung ${\displaystyle {}tx^{n}+(1-t)x^{m}}$ mit ${\displaystyle {}1=n<m}$.

Wir betrachten Polynome ${\displaystyle {}x^{4}+ux^{2}+vx}$ mit Parametern ${\displaystyle {}u,v\in \mathbb {C} }$. Finde eine algebraische Bedingung an die Parameter ${\displaystyle {}u,v}$, die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}f(x)=x^{n}}$ mit ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Wir betrachten die Entfaltung ${\displaystyle {}x^{n}+w_{n-1}x^{n-1}+w_{n-2}x^{n-2}+\cdots +w_{1}x+w_{0}}$ mit dem Deformationsparameter ${\displaystyle {}\left(w_{n-1},\,\ldots ,\,w_{0}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$. Zeige, dass man den Term ${\displaystyle {}w_{n-1}x^{n-1}}$ „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion ${\displaystyle {}f_{w}}$ vorkommt.

Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?

Es sei ${\displaystyle {}E(x,u,v)=x(x-u)(x-v)}$, was wir als Entfaltung von ${\displaystyle {}x^{3}}$ auffassen.

1. Bestimme abhängig von ${\displaystyle {}(u,v)\in \mathbb {C} ^{2}}$ die Milnorzahl von ${\displaystyle {}f_{(u,v)}=E(-,u,v)}$ im Nullpunkt ${\displaystyle {}x=0}$.
2. Welche Funktionen ${\displaystyle {}f_{(u,v)}}$ sind rechtsäquivalent zueinander?
3. Skizziere die Situation im (reellen) Parameterraum.

Untersuche die Funktion ${\displaystyle {}XY-T}$ als Entfaltung von ${\displaystyle {}XY}$. Welche deformierten Funktionen sind untereinander rechtsäquivalent?

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

${\displaystyle F\colon V\longrightarrow V}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${\displaystyle {}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )}$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${\displaystyle {}V}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),}$

mit

${\displaystyle {}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.}$

Man erhält also aus der Funktion ${\displaystyle {}g}$ die neue Funktion ${\displaystyle {}\delta (g)}$, indem man an einem Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ die Richtungsableitung der Funktion ${\displaystyle {}g}$ in Richtung ${\displaystyle {}F(P)}$ berechnet. Zeige, dass für ${\displaystyle {}g\in C}$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}\delta (g)=0}$.
2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung ${\displaystyle {}y'=F(y)}$ liegt in einer Faser von ${\displaystyle {}g}$.

Sei ${\displaystyle {}b\geq 3}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}X^{3}+Y^{b}}$ zu ${\displaystyle {}X^{3}+Y^{b}+X^{4}}$ rechtsäquivalent ist.

Wir betrachten ${\displaystyle {}f=X^{4}+Y^{7}}$. Für welche der folgenden ${\displaystyle {}h}$ kann man mit Hilfe von Lemma 27.9 darauf schließen, dass ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}f+h}$ rechtsäquivalent sind?

1. ${\displaystyle {}h=X^{4}Y^{7}\,,}$

2. ${\displaystyle {}h=X^{2}Y^{8}\,,}$

3. ${\displaystyle {}h=5X^{6}-X^{4}Y^{5}-Y^{17}\,,}$

4. ${\displaystyle {}h=X^{5}+Y^{8}\,.}$

   Ist ${\displaystyle {}f}$ rechtsäquivalent zu ${\displaystyle {}X^{4}+Y^{7}+X^{5}+Y^{8}}$?