Analysiere das Schnittverhalten des Achsenkreuzes ${\displaystyle {}V{\left(XY\right)}}$ mit beliebigen Geraden.

Analysiere das Schnittverhalten von ebenen monomialen Kurven ${\displaystyle {}V{\left(X^{r}-Y^{s}\right)}}$ mit beliebigen Geraden.

Analysiere das Schnittverhalten von ${\displaystyle {}V{\left(XYZ\right)}}$ mit beliebigen Geraden.

Bestimme, welche Geraden

${\displaystyle {}\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}t\,}$

ganz auf der ${\displaystyle {}A_{1}}$-Singularität ${\displaystyle {}V{\left(XY-Z^{2}\right)}}$ verlaufen.

Es sei ${\displaystyle {}P\in K^{n}}$ ein Punkt. Zeige, dass die Zugehörigkeit ${\displaystyle {}P\in G}$ eine Zariski-abgeschlossene Bedingung im Parameterraum aller Geraden ${\displaystyle {}G\subseteq K^{n}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}f\in K[X]}$ ein Polynom ${\displaystyle {}\neq 0}$. Zeige, dass die einzige Gerade durch einen Punkt ${\displaystyle {}(x,f(x))}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}Y-f(X)}$ aufgefasst auf dieser Geraden in diesem Punkt eine mehrfache Nullstelle besitzt, die Tangente durch diesen Punkt ist.

Es sei ${\displaystyle {}P\in V=V(F)\subseteq K^{n}}$ ein glatter Punkt zu ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gerade durch ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass die Vielfachheit von ${\displaystyle {}P}$ in ${\displaystyle {}V\cap G}$ genau dann ${\displaystyle {}\geq 2}$ ist, wenn ${\displaystyle {}G}$ zum Tangentialraum von ${\displaystyle {}V}$ an ${\displaystyle {}P}$ gehört.

Sei ${\displaystyle {}E\subset K^{n}}$ eine Hyperebene, ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Dann ist die generische Gerade nicht parallel zu ${\displaystyle {}E}$.

Die generische quadratische Matrix ist invertierbar.

Das generische Polynom besitzt nur einfache Nullstellen.

Der generische Punkt auf einer Hyperfläche ist glatt.

Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren Milnorzahl übereinstimmt, deren Multiplizität aber verschieden ist.

Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren Milnorzahl verschieden ist, deren Multiplizität aber gleich ist.

Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein homogenes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}m}$. Präzisiere und begründe die Aussage, dass zu einer Geraden, die nahe am Nullpunkt verläuft, sämtliche Schnittpunkte der Geraden mit ${\displaystyle {}V(F)}$ sich in der Nähe des Nullpunktes befinden.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X,Y]}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom. Es sei ${\displaystyle {}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${\displaystyle {}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,}$

die homogene Zerlegung von ${\displaystyle {}F}$ mit ${\displaystyle F_{d}\neq 0}$ und ${\displaystyle F_{m}\neq 0}$, ${\displaystyle {}d\geq m}$. Es sei ${\displaystyle {}F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade ${\displaystyle V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m}$, eine Tangente an ${\displaystyle {}C}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$.

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve

${\displaystyle {}V{\left(X^{2}+5Y^{2}+3X^{2}Y-7XY^{2}+11X^{9}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,}$

im Nullpunkt.

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms

${\displaystyle X^{3}+XY^{2}\in \mathbb {C} [X,Y]}$

und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

${\displaystyle V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V}$

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.

Bestimme die Singularitäten (mit Multiplizitäten und Tangenten) der durch

${\displaystyle V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}}$

gegebenen Kardioide.