Diskutiere, ob es sich bei

${\displaystyle n!,\,{\binom {n}{k}},\,\pi ,\,e^{u},x^{y},\,5^{x},\,{\sqrt {x}},\,\heartsuit }$

um Terme handelt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${\displaystyle {}K[X]}$ assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom ${\displaystyle {}1}$ neutrales Element der Multiplikation ist.

Berechne das Produkt

${\displaystyle (2X^{3}+4X+5)\cdot (X^{4}+5X^{2}+6)}$

im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)[X]}$.

Berechne im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X]}$ das Produkt

${\displaystyle ((4+{\mathrm {i} })X^{2}-3X+9{\mathrm {i} })\cdot ((-3+7{\mathrm {i} })X^{2}+(2+2{\mathrm {i} })X-1+6{\mathrm {i} }).}$

Beweise die Formel

${\displaystyle {}X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^{2}+X+1)\,.}$

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}R[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Einheiten von ${\displaystyle {}R[X]}$ genau die Einheiten von ${\displaystyle {}R}$ sind.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. und sei ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein Unterring. Zeige, dass ${\displaystyle {}S[X]}$ ein Unterring von ${\displaystyle {}R[X]}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}R[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

1. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}}$
2. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)}$
3. Wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

${\displaystyle 2X^{3}-5X^{2}-4X+7}$

die Variable ${\displaystyle {}X}$ durch die komplexe Zahl ${\displaystyle {}2-5{\mathrm {i} }}$ ersetzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}a\in K}$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

${\displaystyle \psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),}$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ${\displaystyle P,Q\in K[X]}$).

1. ${\displaystyle {}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)}$.
2. ${\displaystyle {}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)}$.
3. ${\displaystyle {}1(a)=1}$.

Schreibe das Polynom

${\displaystyle X^{3}+2X^{2}-3X+4}$

in der neuen Variablen ${\displaystyle {}U=X+2}$.

Schreibe das Polynom

${\displaystyle Z^{3}-(2i)Z^{2}+3iZ-(45i)}$

in der neuen Variablen ${\displaystyle {}W=Z+2-i}$.

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${\displaystyle {}ax^{2}+bx+c=0\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}a\neq 0}$.

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt ${\displaystyle {}200}$ Euro, ein Meter Hecke kostet ${\displaystyle {}30}$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet ${\displaystyle {}1000}$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

Man finde ein Polynom

${\displaystyle f=a+bX+cX^{2}}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.}$

Man finde ein Polynom

${\displaystyle f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.}$

Man finde ein Polynom

${\displaystyle f=a+bX+cX^{2}}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {C} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f({\mathrm {i} })=1,\,f(1)=1+{\mathrm {i} },\,f(1-2{\mathrm {i} })=-{\mathrm {i} }.}$

Multipliziere in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[x,y]}$ die beiden Polynome

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.}$

Multipliziere in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [x,y,z]}$ die beiden Polynome

${\displaystyle x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.}$

Beweise die Identität

${\displaystyle (X+Y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X^{k}Y^{n-k}}$

im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X,Y]}$.

Berechne im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X]}$ das Produkt

${\displaystyle {\left((4+{\mathrm {i} })X^{3}-{\mathrm {i} }X^{2}+2X+3+2{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left((2-{\mathrm {i} })X^{3}+(3-5{\mathrm {i} })X^{2}+(2+{\mathrm {i} })X+1+5{\mathrm {i} }\right)}.}$

Beweise die Formel

${\displaystyle {}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,}$

für ${\displaystyle {}u}$ ungerade.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}r\in R}$ ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in ${\displaystyle {}R[X]}$, das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.

Man finde ein Polynom ${\displaystyle {}f}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq 3}$, für welches

${\displaystyle f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21}$

gilt.

Zwei Personen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ${\displaystyle {}A}$ ein Polynom ${\displaystyle {}P(x)}$ aus, wobei alle Koeffizienten aus ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ sein müssen. Person ${\displaystyle {}B}$ darf fragen, was der Wert ${\displaystyle {}P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})}$ zu gewissen natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}$ ist. Dabei darf ${\displaystyle {}B}$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für ${\displaystyle {}B}$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.