Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine maximal widerspruchsfreie prädikatenlogische Ausdrucksmenge ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq L^{S}}$.
2. Ein topologischer Filter auf einem topologischen Raum ${\displaystyle {}X}$.
3. Die Interpretation der Terme zu einem Symbolalphabet ${\displaystyle {}S}$ in einer gegebenen ${\displaystyle {}S}$-Interpretation auf einer Grundmenge ${\displaystyle {}M}$.
4. Eine funktional abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ einer ${\displaystyle {}S}$-Struktur ${\displaystyle {}M}$, wobei ${\displaystyle {}S}$ ein erststufiges Symbolalphabet bezeichnet.
5. Eine vollständige Theorie ${\displaystyle {}T\subseteq L_{0}^{S}}$.
6. Ein modallogisches Modell.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Henkin.
2. Der Satz über das Halteproblem.
3. Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.

${\displaystyle {}E}$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${\displaystyle {}A}$ oder ${\displaystyle {}B}$ oder ${\displaystyle {}C}$ oder ${\displaystyle {}D}$.
2. Wenn ${\displaystyle {}C}$ der Mörder ist, dann ist ${\displaystyle {}D}$ nicht der Mörder oder ${\displaystyle {}A}$ ist der Mörder.
3. ${\displaystyle {}A,B,C,D}$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${\displaystyle {}A}$ nicht der Mörder ist, dann ist ${\displaystyle {}D}$ nicht der Mörder.
6. ${\displaystyle {}A}$ ist genau dann der Mörder, wenn ${\displaystyle {}B}$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${\displaystyle {}p}$ ${\displaystyle {}q}$ ${\displaystyle {}r}$ ${\displaystyle {}?}$ w w w w w w f f w f w w w f f f f w w f f w f w f f w f f f f w

Erläutere die Beziehung zwischen dem Modus Ponens und

${\displaystyle \vdash \alpha \wedge {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \beta .}$

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq L^{V}}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge ${\displaystyle {}V}$. Begründe die Widerspruchsregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \alpha }$ und ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \neg \alpha }$, dann ist auch ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \beta }$.

Es sei ein Symbolalphabet ${\displaystyle {}S}$ erster Stufe mit der Variablenmenge

${\displaystyle {}V=\{x,y,z,w\}\,}$

gegeben und eine ${\displaystyle {}S}$-Interpretation ${\displaystyle {}I}$ in der Menge ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle I(x)=5,\,I(y)=\pi ,\,I(z)=-{\sqrt {2}},\,I(w)=-3.}$

Bestimme die Werte von ${\displaystyle {}I{\frac {e,-{\sqrt {2}},{\frac {4}{7}},I(x)}{x,z,x,y}}}$ auf ${\displaystyle {}V}$.

Es seien ${\displaystyle {}x,y,z}$ Variablen (mit der angegebenen Reihenfolge), ${\displaystyle {}c}$ eine Konstante und ${\displaystyle {}f}$ ein einstelliges Funktionssymbol.

1. Bestimme

   ${\displaystyle (\exists x(x=c)){\frac {z}{x}}.}$

2. Bestimme

   ${\displaystyle (\exists x(x=c)){\frac {x}{x}}.}$

3. Bestimme

   ${\displaystyle (\exists x(x=c)){\frac {fx}{x}}.}$

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring die Beziehung ${\displaystyle {}0\cdot 0=0}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}S}$ ein Symbolalphabet und ${\displaystyle {}L^{S}}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Es sei ${\displaystyle {}I}$ eine ${\displaystyle {}S}$-Interpretation mit der Grundmenge ${\displaystyle {}N}$ und es sei ${\displaystyle {}\Gamma$ :=I^{\vDash }} mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf der Termmenge ${\displaystyle {}T}$.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}s\sim t}$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}I(s)=I(t)}$ gilt.
2. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   ${\displaystyle \psi \colon T/\sim \longrightarrow N}$

   mit

   ${\displaystyle {}\psi ([t])=I(t)\,}$

   gibt.

3. Zeige, dass ${\displaystyle {}\psi }$ ein ${\displaystyle {}S}$-Homomorphismus ist, wenn die Quotientenmenge ${\displaystyle {}T/\sim }$ mit der kanonischen ${\displaystyle {}S}$-Struktur versehen wird.
4. Es sei ${\displaystyle {}J}$ die kanonische Interpretation auf ${\displaystyle {}T/\sim }$. Es sei vorausgesetzt, dass die Terminterpretation für ${\displaystyle {}N}$ surjektiv sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}J\vDash \alpha }$ gilt.