Es sei ${\displaystyle {}S}$ ein Symbolalphabet und ${\displaystyle {}L^{S}}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Es sei ${\displaystyle {}I}$ eine ${\displaystyle {}S}$-Interpretation mit der Grundmenge ${\displaystyle {}N}$ und es sei ${\displaystyle {}\Gamma$ :=I^{\vDash }} mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf der Termmenge ${\displaystyle {}T}$.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}s\sim t}$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}I(s)=I(t)}$ gilt.
2. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   ${\displaystyle \psi \colon T/\sim \longrightarrow N}$

   mit

   ${\displaystyle {}\psi ([t])=I(t)\,}$

   gibt.

3. Zeige, dass ${\displaystyle {}\psi }$ ein ${\displaystyle {}S}$-Homomorphismus ist, wenn die Quotientenmenge ${\displaystyle {}T/\sim }$ mit der kanonischen ${\displaystyle {}S}$-Struktur versehen wird.
4. Es sei ${\displaystyle {}J}$ die kanonische Interpretation auf ${\displaystyle {}T/\sim }$. Es sei vorausgesetzt, dass die Terminterpretation für ${\displaystyle {}N}$ surjektiv sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}J\vDash \alpha }$ gilt.