Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Eine rechtsvollständige Relation ${\displaystyle {}R\subseteq M\times N}$.
3. Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition/Begriff
4. Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition/Begriff
5. Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition/Begriff
6. Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition/Begriff

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Satz über den Zusammenhang von Graphen mit Blättern.
3. Der Vier-Farben-Satz.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}1071}$ und ${\displaystyle {}1029}$.

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

${\displaystyle {}1071=1\cdot 1029+42\,,}$

${\displaystyle {}1029=24\cdot 42+21\,,}$

${\displaystyle {}42=2\cdot 21+0\,.}$

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen ${\displaystyle {}z,w}$ als äquivalent gelten, wenn ihre ${\displaystyle {}17}$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es ${\displaystyle {}17}$ komplexe Zahlen mit ${\displaystyle {}z^{17}=1}$ gibt)?

1. Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung

   ${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z^{17},}$

   den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.

2. Da ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu ${\displaystyle {}0}$ allein aus ${\displaystyle {}0}$, sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu ${\displaystyle {}1}$ besteht aus den ${\displaystyle {}17}$ ${\displaystyle {}17}$-ten Einheitswurzeln. Für von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Zahlen ist

   ${\displaystyle {}z^{17}=w^{17}\,}$

   genau dann, wenn

   ${\displaystyle {}{\left({\frac {w}{z}}\right)}^{17}=1\,,}$

   wenn also ${\displaystyle {}w/z}$ eine ${\displaystyle {}17}$-te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu ${\displaystyle {}z\neq 0}$ aus der ${\displaystyle {}17}$ Elementen ${\displaystyle {}z\zeta }$, wobei ${\displaystyle {}\zeta }$ die ${\displaystyle {}17}$-ten Einheitswurzeln durchläuft.