Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${}{\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}R$ mit der kanonischen Projektion
$q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}q$ ein Ringhomomorphismus
ist.
Es sei ${}G=(V,E)$ ein Graph und ${}b\in V$ ein Blatt des Graphen. Dann ist ${}G$ genau dann zusammenhängend, wenn ${}G\setminus b$ zusammenhängend ist.
Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens vier Farben.

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