Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}4}$ der Funktion

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto {\left(\sin z\right)}{\left(\cos z\right)},}$

im Nullpunkt.

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

${\displaystyle {}f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,}$

im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}a=3}$.

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion ${\displaystyle {}f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}$ im Punkt ${\displaystyle {}a=3}$ bis zur Ordnung ${\displaystyle {}4}$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}4}$ zum Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}3}$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}3}$ zur Funktion

${\displaystyle {}f(x)=x\cdot \sin x\,}$

im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}a={\frac {\pi }{2}}}$.

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

${\displaystyle {}f(x)=e^{x^{2}}-x\,}$

im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}a=1}$ bis zur Ordnung ${\displaystyle {}4}$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}4}$ zum Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion ${\displaystyle {}f(x)={\frac {1}{x}}}$ im Punkt ${\displaystyle {}a=2}$ bis zur Ordnung ${\displaystyle {}4}$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}4}$ zum Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}2}$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

${\displaystyle f(x)=\sin x}$

im Punkt ${\displaystyle {}\pi /2}$ bis zur Ordnung ${\displaystyle {}4}$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}4}$ zum Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}\pi /2}$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}a\in \mathbb {C} }$.

Bestimme das Polynom

${\displaystyle {}f(z)=z^{3}+3z^{2}-7z-4\,.}$

in der neuen Variablen ${\displaystyle {}z-2}$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}2}$.

Es sei ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${\displaystyle {}f^{(k)}(a)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p\in \mathbb {R} [Y]}$ ein Polynom und

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.}$

Zeige, dass die Ableitung ${\displaystyle {}g'(x)}$ ebenfalls von der Form

${\displaystyle {}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,}$

mit einem weiteren Polynom ${\displaystyle {}q}$ ist.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.}$

Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung ${\displaystyle {}f^{(n)}}$ die Eigenschaft

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,}$

besitzt.

Bestimme den Wendepunkt der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}.}$

Bestimme die Taylor-Polynome bis zum Grad ${\displaystyle {}4}$ der Funktion

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right)+z^{3}\exp \left(z^{2}\right).}$

Bestimme das Polynom

${\displaystyle {}f(z)=z^{3}+(4-{\mathrm {i} })z^{2}-2{\mathrm {i} }z+5\,.}$

in der neuen Variablen ${\displaystyle {}z-1-{\mathrm {i} }}$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }}$.

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

${\displaystyle f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},}$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Sei ${\displaystyle {}\epsilon }$, ${\displaystyle {}0<\epsilon \leq {\frac {1}{3}}}$, vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

gibt mit

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq 0\,,\\1{\text{ für }}x\geq \epsilon {\text{ und }}x\leq 1-\epsilon \,,\\0{\text{ für }}x\geq 1\,.\end{cases}}}$