${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}r}$

${\displaystyle {}U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,}$

definiert.

${\displaystyle {}L}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

gibt, deren Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ ebenfalls stetig ist.

${\displaystyle v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),}$

auf einem offenen (Teil)Intervall ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}v(t)\in U}$ für alle ${\displaystyle {}t\in J}$.
2. Die Abbildung ${\displaystyle {}v}$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${\displaystyle {}v'(t)=f(t,v(t))}$ für alle ${\displaystyle {}t\in J}$.

${\displaystyle \operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),}$

heißt die Hesse-Form im Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$.

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.}$

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow M}$

derart gibt, dass es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ gibt mit

${\displaystyle d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.}$