Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}x\in M}$ und Radius ${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} }$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
2. Die Eigenschaft zweier metrischer Räume ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$, zueinander homöomorph zu sein.
3. Der Abschluss einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
4. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung ${\displaystyle {}v'=f(t,v)}$, wobei

   ${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V}$

   ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ${\displaystyle {}I}$ ein Intervall und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Teilmenge ist).

5. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon V\longrightarrow W,}$

   wobei ${\displaystyle {}V,W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$.

6. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

7. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräumen durch einen Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$, in dem das totale Differential surjektiv ist.

8. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

   ${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow M,}$

   wobei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und ${\displaystyle {}M}$ ein metrischer Raum ist.