${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle +:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K}$

und zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}0,1\in K}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle {}(a+b)+c=a+(b+c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a+b=b+a}$.
   3. ${\displaystyle {}0}$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in K}$ ist ${\displaystyle {}a+0=a}$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in K}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}b\in K}$ mit ${\displaystyle {}a+b=0}$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt: ${\displaystyle {}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot b=b\cdot a}$.
   3. ${\displaystyle {}1}$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${\displaystyle {}a\in K}$ ist ${\displaystyle {}a\cdot 1=a}$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${\displaystyle {}a\in K}$ mit ${\displaystyle {}a\neq 0}$ gibt es ein Element ${\displaystyle {}c\in K}$ mit ${\displaystyle {}a\cdot c=1}$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in K}$ gilt ${\displaystyle {}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.

${\displaystyle {}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle {}i\longmapsto n_{i}}$

${\displaystyle i\mapsto x_{n_{i}}}$

eine Teilfolge der Folge.

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}x\in M}$

${\displaystyle f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.}$

${\displaystyle {}z}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$

${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

heißt eine obere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}f}$, wenn ${\displaystyle {}t(x)\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in I}$ ist.

${\displaystyle y'=g(t)y}$

mit einer Funktion (${\displaystyle {}I}$ reelles Intervall)

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),}$

heißt homogene lineare Differentialgleichung.