Wir betrachten die durch

${\displaystyle \delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D}$

mit

${\displaystyle \delta (e_{1})=1,\,\delta (e_{2})=\ell -1}$

gegebene Graduierung auf ${\displaystyle {}\mathbb {C} [U,V]}$, die der linearen Operation der Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1}$

zu einer ${\displaystyle {}\ell }$-ten primitiven Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ entspricht, vergleiche dazu Beispiel. Der Kern ist durch

${\displaystyle {}\Gamma =\langle \ell e_{1},e_{1}+e_{2}\rangle \,}$

und das Monoid durch

${\displaystyle {}M=\langle \ell e_{1},\ell e_{2},e_{1}+e_{2}\rangle \,}$

gegeben, der Invariantenring ist ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}}$. Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also ${\displaystyle {}0\in \mathbb {C} ^{2}}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

${\displaystyle \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {C} [X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},}$

gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(\ell )}$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch

${\displaystyle \gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z} }$

mit

${\displaystyle \gamma (\ell e_{1})=1,\,\gamma (e_{1}+e_{2})=0{\text{ und }}\gamma (\ell e_{2})=-1}$

gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ fortsetzen, allerdings lässt sich das ${\displaystyle {}\ell }$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {C} [X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\longrightarrow \mathbb {C} [T,T^{-1}]}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (X)=T}$, ${\displaystyle {}\varphi (Y)=T^{-1}}$ und ${\displaystyle {}\varphi (Z)=1}$, was wiederum der stetigen Abbildung

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {C} [X,Y,Z]/(XY-Z^{\ell })\right)}_{\mathbb {C} }=V{\left(XY-Z^{\ell }\right)},\,t\longmapsto (t,t^{-1},1),}$

(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {C} [X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,e^{-{\mathrm {i} }s},\,1\right),}$

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.