Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, der eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}\xi }$ enthalte. Wir betrachten die Untergruppe

${\displaystyle {}G={\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\mid \zeta ^{n}=1\right\}}\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\,}$

und die zugehörige Operation auf ${\displaystyle {}K^{2}}$ bzw. auf ${\displaystyle {}K[U,V]}$. Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle {}n}$, die von

${\displaystyle {}g={\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{pmatrix}}\,}$

erzeugt wird. Die Operation von ${\displaystyle {}g}$ auf ${\displaystyle {}K[U,V]}$ ist durch ${\displaystyle {}U\mapsto \xi U}$ und ${\displaystyle {}V\mapsto \xi ^{-1}V}$ gegeben. Offenbar sind

${\displaystyle X=U^{n},\,Y=V^{n},\,Z=UV}$

invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung

${\displaystyle {}XY=Z^{n}\,}$

stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$-graduiert, wobei ${\displaystyle {}U}$ den Grad ${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}V}$ den Grad ${\displaystyle {}(0,1)}$ besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)=:D,\,(a,b)\longmapsto a-b,}$

und die zugehörige ${\displaystyle {}D}$-Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ mit der obigen Gruppe ${\displaystyle {}G}$, indem wir

${\displaystyle \chi \colon D\longrightarrow K^{\times }}$

mit ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\chi (1)&0\\0&\chi (-1)\end{pmatrix}}}$ identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}K[U,V]}$ der natürlichen Operation der Charaktergruppe gemäß Fakt. Nach Fakt ist der Invariantenring unter der ${\displaystyle {}G}$-Operation gleich der neutralen Stufe unter der ${\displaystyle {}D}$-Graduierung. Der Kern von ${\displaystyle {}\delta }$ wird durch ${\displaystyle {}(n,0),(0,n),(1,1)}$ erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also ${\displaystyle {}K[U^{n},V^{n},UV]}$.