Das charakteristische Polynom zur Adjazenzmatrix des vollständigen Graphen ${\displaystyle {}K_{n}}$ ist nach Definition die Determinante von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&-1&\ldots &-1&-1\\-1&x&-1&\ldots &-1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\-1&\ldots &-1&x&-1\\-1&-1&\ldots &-1&x\end{pmatrix}}.}$

In diesem Fall ist es einfacher, direkt die Eigenräume zu berechnen. Für ${\displaystyle {}x=-1}$ steht hier überall ${\displaystyle {}-1}$ und der Kern besitzt die Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}.}$

Somit ist ${\displaystyle {}-1}$ ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit ${\displaystyle {}n-1}$. Für ${\displaystyle {}x=n-1}$ ergibt sich die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n-1&-1&\ldots &-1&-1\\-1&n-1&-1&\ldots &-1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\-1&\ldots &-1&n-1&-1\\-1&-1&\ldots &-1&n-1\end{pmatrix}}}$

und der Kern davon ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\\1\end{pmatrix}}.}$

Somit ist ${\displaystyle {}n-1}$ ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit ${\displaystyle {}1}$. Da die Summe der geometrischen Vielfachheiten bereits die Dimension ${\displaystyle {}n}$ ist, handelt es sich jeweils auch um die algebraischen Vielfachheiten und das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle (x+1)^{n-1}(x-n+1).}$