Vektorraum/Körperwechsel/Erzeugendensystem/Basis/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Vektoren aus ${}V$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ist genau dann ein ${}K$ -Erzeugendensystem von ${}V$ , wenn ${}1\otimes v_{i}$ , ${}i\in I$ , ein ${}L$ -Erzeugendensystem von ${}L\otimes V$ ist.

Die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ist genau dann ${}K$ -linear unabhängig in ${}V$ , wenn ${}1\otimes v_{i}$ , ${}i\in I$ , linear unabhängig (über ${}L$ ) in ${}L\otimes V$ ist.

Die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ist genau dann ein ${}K$ -Basis von ${}V$ , wenn ${}1\otimes v_{i}$ , ${}i\in I$ , ein ${}L$ -Basis von ${}L\otimes V$ ist.

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