Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein Ideal (in ${\displaystyle {}S}$).
2. Zu einem Radikal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein Radikal.
3. Zu einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein Primideal.
4. Zu einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein maximales Ideal.