Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M=(M,+,0)}$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${\displaystyle {}M}$ einen ${\displaystyle {}R}$-Modul, wenn eine Operation

${\displaystyle R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,}$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${\displaystyle r,s\in R}$ und ${\displaystyle u,v\in M}$ beliebig):

1. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$,
2. ${\displaystyle {}r(u+v)=(ru)+(rv)}$,
3. ${\displaystyle {}(r+s)u=(ru)+(su)}$,
4. ${\displaystyle {}1u=u}$.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ heißt ${\displaystyle {}R}$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${\displaystyle {}(M,0,+)}$ ist und wenn für jedes ${\displaystyle {}u\in U}$ und ${\displaystyle {}r\in R}$ auch ${\displaystyle {}ru\in U}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Eine Familie ${\displaystyle {}v_{i}\in M}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, heißt Erzeugendensystem für ${\displaystyle {}M}$, wenn es für jedes Element ${\displaystyle {}v\in M}$ eine Darstellung

${\displaystyle {}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,}$

gibt, wobei ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ endlich ist und ${\displaystyle {}r_{i}\in R}$.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Der Modul ${\displaystyle {}M}$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).