Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ sei mit der Maximumsnorm

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\,}$

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

${\displaystyle {}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,}$

mit der Eigenschaft

${\displaystyle {}\Vert {Mv}\Vert =\Vert {v}\Vert \,}$

für alle ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$. Eine solche Matrix nennen wir ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}}$-isometrisch.

1. Zeige, dass eine ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}}$-isometrische Matrix invertierbar ist.
2. Zeige, dass die Menge der ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}}$-isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}}$-isometrisch ist.
4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die ${\displaystyle {}1}$ jeweils ein ${\displaystyle {}+}$ oder ein ${\displaystyle {}-}$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine ${\displaystyle {}3\times 3}$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.
5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}}$-isometrisch ist.
6. Zeige, dass jede ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}}$-isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.