Die Elemente eines Polynomrings ${\displaystyle {}K[V]}$ zu einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ kann man als Funktionen von ${\displaystyle {}V}$ nach ${\displaystyle {}K}$ auffassen. Wenn eine lineare Operation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}V}$ vorliegt, so ist ein Element ${\displaystyle {}f\in K[V]^{G}\subseteq K[V]}$ eine invariante Funktion von ${\displaystyle {}V}$ nach ${\displaystyle {}K}$ im Sinne von Definition. Zu ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$ ist ja

${\displaystyle {}f(\sigma (v))=(f\sigma )(v)=f(v)\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}K}$ unendlich ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung, d.h. ein Polynom ${\displaystyle {}f\in K[V]}$, das aufgefasst als Funktion auf ${\displaystyle {}V}$ invariant ist, gehört zum Invariantenring ${\displaystyle {}K[V]^{G}}$, siehe Aufgabe. Bei endlichem ${\displaystyle {}K}$ muss die Umkehrung nicht gelten, siehe Beispiel.