Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle {}G=S_{2}\cong \mathbb {Z} /(2)}$ auf ${\displaystyle {}V={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{2}}$ (${\displaystyle p\geq 3}$), das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten (das entspricht der Matrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ bzw. ${\displaystyle X\longleftrightarrow Y}$). Wegen

${\displaystyle {}f=XY^{p}-X^{p}Y=X{\left(Y^{p}-Y\right)}-Y{\left(X^{p}-X\right)}\,}$

ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf ${\displaystyle {}V}$, die Nullfunktion und somit insbesondere ${\displaystyle {}G}$-invariant. Dagegen ist ${\displaystyle {}f}$ kein symmetrisches Polynom und gehört nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]^{G}}$.