Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   ${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.}$

2. Eine Ordnungsrelation ${\displaystyle {}\preccurlyeq }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}I}$.
3. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${\displaystyle {}x\in M}$ in einer Menge ${\displaystyle {}M}$ mit einer Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$.
4. Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition/Begriff
5. Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition/Begriff
6. Ein Hamiltonkreis.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Es seien ${\displaystyle {}a,m,n}$ natürliche Zahlen mit ${\displaystyle {}a\geq 1}$.

1. Bestimme ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})}$.
2. Bestimme ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})}$.

Es sei

${\displaystyle {}n\geq m\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}a^{n}=a^{m+n-m}=a^{m}\cdot a^{n-m}\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}a^{m}}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}a^{n}}$. In einem solchen Fall ist der Teiler der größte gemeinsame Teiler und das Vielfache das kleinste gemeinsame Vielfache. Also ist

${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})=a^{m}\,}$

und

${\displaystyle {}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})=a^{n}\,.}$

Führe in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)[X]}$ die Division mit Rest „${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome ${\displaystyle {}P=2X^{3}+4X^{2}+5}$ und ${\displaystyle {}T=3X^{2}+X+1}$ durch.

Es ist

${\displaystyle {}2X^{3}+4X^{2}+5={\left(3X^{2}+X+1\right)}{\left(3X+5\right)}+6X\,.}$