${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

heißt assoziativ, wenn für alle ${\displaystyle {}x,y,z\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,}$

gilt.

${\displaystyle {}\preccurlyeq }$

1. Es ist ${\displaystyle {}i\preccurlyeq i}$ für alle ${\displaystyle {}i\in I}$.
2. Aus ${\displaystyle {}i\preccurlyeq j}$ und ${\displaystyle {}j\preccurlyeq k}$ folgt stets ${\displaystyle {}i\preccurlyeq k}$.
3. Aus ${\displaystyle {}i\preccurlyeq j}$ und ${\displaystyle {}j\preccurlyeq i}$ folgt ${\displaystyle {}i=j}$.

${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.}$