Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon M\longrightarrow N.}$

2. Ein Körper.
3. Eine Teilfolge einer Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
4. Das Maximum der Funktion

   ${\displaystyle f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

   wird im Punkt ${\displaystyle {}x\in M}$ angenommen.

5. Die Potenzreihe in ${\displaystyle {}z\in \mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{n}\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
6. Die ${\displaystyle {}n}$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

   auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}D\subseteq {\mathbb {K} }}$.

7. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem beschränkten Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

8. Eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Die Division mit Rest im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   (welche Voraussetzungen muss die Funktion ${\displaystyle {}f}$ und das Intervall ${\displaystyle {}I}$ erfüllen)?
4. Der Satz über partielle Integration.

Es sei ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} ,\,\epsilon >0}$, gelte ${\displaystyle {}x\leq \epsilon }$. Zeige ${\displaystyle {}x=0}$.

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${\displaystyle {}b=7}$ mit dem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}=3}$ durch (es sollen also die Approximationen ${\displaystyle {}x_{1},x_{2},x_{3}}$ für ${\displaystyle {}{\sqrt {7}}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Es seien die beiden Polynome

${\displaystyle P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7}$

gegeben.

a) Berechne ${\displaystyle {}P(Q)}$ (es soll also ${\displaystyle {}Q}$ in ${\displaystyle {}P}$ eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von ${\displaystyle {}P(Q)}$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

Es sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$ und seien

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

stetige Funktionen mit

${\displaystyle {}f(a)>g(a)\,.}$

Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}f(x)>g(x)\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in [a-\delta ,a+\delta ]}$ gilt.

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${\displaystyle {}42}$ ist?

Zu einem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]}$ sei eine Folge rekursiv durch

${\displaystyle {}x_{n+1}:=\sin x_{n}\,}$

definiert. Entscheide, ob ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

b)

${\displaystyle {}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.}$

c)

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

Bestimme für die Funktion

${\displaystyle f(x)=2^{x}+{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{x}}$

die Extrema.

Berechne das bestimmte Integral

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.}$

Beweise, dass eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

Riemann-integrierbar ist.