Es sei

${\displaystyle \rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$

eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von ${\displaystyle {}G}$ gilt für die zu ${\displaystyle {}\sigma ,\tau \in G}$ gehörenden linearen Abbildungen

${\displaystyle {}\sigma \circ \tau =\tau \circ \sigma \,.}$

Aus Fakt, angewandt für festes ${\displaystyle {}\tau }$ und alle ${\displaystyle {}\sigma }$, folgt, dass ${\displaystyle {}\tau }$ eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, so dass in diesem Fall jeder Untervektorraum ${\displaystyle {}G}$-invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität ${\displaystyle {}V}$ eindimensional sein.