Nach Bemerkung gibt es eine exakte Sequenz

${\displaystyle A^{m}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\longrightarrow 0,}$

wobei ${\displaystyle {}M}$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${\displaystyle {}f_{i}}$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper ${\displaystyle {}K}$ und erhalten eine exakte Sequenz

${\displaystyle K^{m}{\stackrel {M(P)}{\longrightarrow }}K^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\longrightarrow 0}$

von endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist

${\displaystyle 0\longrightarrow {\left(\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\right)}^{*}\longrightarrow K^{n}{\stackrel {\operatorname {Jac} (P)}{\longrightarrow }}K^{m}}$

und ebenfalls exakt. Nach Definition ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt ${\displaystyle {}P}$ der Tangentialraum an ${\displaystyle {}V}$ in ${\displaystyle {}P}$.