Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.

Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , gegen ${}0\in V$ .

Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$ , ${}j=1,\ldots ,m$ , gegen ${}0$ konvergiert.

Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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