Aus (1) folgt (2). Sei ${\displaystyle {}v\in V}$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf ${\displaystyle {}V}$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

${\displaystyle {}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,}$

die Folge ${\displaystyle {}\varphi ^{n}(v)}$ gegen ${\displaystyle {}0}$. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

${\displaystyle {}v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,}$

eine Linearkombination ist, so ist

${\displaystyle {}\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,}$

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen ${\displaystyle {}\varphi ^{n}(v_{j})}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen ${\displaystyle {}0}$. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {C} }$ annehmen: Im reellen Fall kann man von ${\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{d}}$ ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{d}}$. Es sei ${\displaystyle {}\lambda }$ ein Eigenwert und ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle {}\lambda }$. Da nach Voraussetzung

${\displaystyle {}\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v\,}$

gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert, muss ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergieren und daher ist

${\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert <1\,.}$

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also

${\displaystyle {}\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}k}$ die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ${\displaystyle {}\varphi _{\rm {nil}}}$ ist. Die Eigenwerte von ${\displaystyle {}\varphi }$ sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils ${\displaystyle {}\varphi _{\rm {diag}}}$, sie seien mit ${\displaystyle {}z_{j}}$ bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

${\displaystyle p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{s}}$

zu einem festen ${\displaystyle {}s<k}$ und einem Polynom ${\displaystyle {}p(n)}$. Die Diagonaleinträge von ${\displaystyle {}p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}}$ sind (nach Diagonalisieren) von der Form

${\displaystyle p(n)z_{j}^{n-s}}$

und wegen ${\displaystyle {}\vert {z_{j}}\vert <1}$ konvergiert dies für ${\displaystyle {}n\rightarrow \infty }$ gegen ${\displaystyle {}0}$. Daher konvergiert ${\displaystyle {}p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}}$ gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe auch für das Produkt mit der festen Abbildung ${\displaystyle {}\varphi _{\rm {nil}}^{s}}$. Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.