Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Sei ${\displaystyle {}k\leq n}$. Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ gibt, wenn es eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von ${\displaystyle {}\varphi }$ die Gestalt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&a_{1k+1}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{k1}&\ldots &a_{kk}&a_{kk+1}&\ldots &a_{kn}\\0&\ldots &0&a_{k+1k+1}&\ldots &a_{k+1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\ldots &0&a_{nk+1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$