Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ und sei ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle {}\varphi }$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda \in K}$. Es sei

${\displaystyle {\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}}$

die duale Abbildung zu ${\displaystyle {}\varphi }$. Wir betrachten Basen von ${\displaystyle {}V}$ der Form ${\displaystyle {}v,u_{1},\ldots ,u_{r}}$ mit der Dualbasis ${\displaystyle {}v^{*},u_{1}^{*},\ldots ,u_{r}^{*}}$. Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ${\displaystyle {}v^{*}}$ ist Eigenvektor von ${\displaystyle {}{\varphi }^{*}}$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda }$ unabhängig von ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{r}}$.

b) ${\displaystyle {}v^{*}}$ ist Eigenvektor von ${\displaystyle {}{\varphi }^{*}}$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda }$ bezüglich einer Basis ${\displaystyle {}v,u_{1},\ldots ,u_{r}}$, aber nicht bezüglich einer Basis ${\displaystyle {}v,w_{1},\ldots ,w_{r}}$.

${\displaystyle {}v^{*}}$

${\displaystyle {}v,u_{1},\ldots ,u_{r}}$

${\displaystyle {}{\varphi }^{*}}$