a) Wir betrachten die Identität auf ${\displaystyle {}V}$. Jeder Vektor

${\displaystyle {}v\neq 0\,}$

ist Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$. Die duale Abbildung ist ebenfalls die Identität, und daher ist unabhängig von der gewählten Basis ${\displaystyle {}v^{*}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ der dualen Abbildung.

b) Wir betrachten die durch die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ gegebene lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}.}$

Der Standardvektor ${\displaystyle {}e_{1}}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$. Bezüglich der Dualbasis zur Standardbasis ${\displaystyle {}e_{1},e_{2}}$ wird die duale Abbildung durch die gleiche (transponierte) Matrix beschrieben und somit ist auch ${\displaystyle {}e_{1}^{*}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$. Wenn wir dagegen die Basis ${\displaystyle {}e_{1},u=e_{1}+e_{2}}$ betrachten, so ist einerseits

${\displaystyle {}(\varphi ^{*}(e_{1}^{*}))(e_{2})=e_{1}^{*}(\varphi (e_{2}))=e_{1}^{*}(0)=0\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}e_{1}^{*}(e_{2})=e_{1}^{*}(u-e_{1})=-1\,,}$

also sind ${\displaystyle {}\varphi ^{*}(e_{1}^{*})}$ und ${\displaystyle {}e_{1}^{*}}$ linear unabhängig (wegen ${\displaystyle {}(\varphi ^{*}(e_{1}^{*}))(e_{1})=1}$ ist ${\displaystyle {}\varphi ^{*}(e_{1}^{*})}$ nicht die Nullabbildung) und daher ist ${\displaystyle {}e_{1}^{*}}$ kein Eigenvektor der dualen Abbildung.

c) Wir betrachten die durch ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ gegebene lineare Abbildung

${\displaystyle K^{2}\longrightarrow K^{2}}$

mit dem Eigenvektor ${\displaystyle {}e_{1}}$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ und eine Basis der Form ${\displaystyle {}e_{1},ae_{1}+be_{2}}$ mit ${\displaystyle {}b\neq 0}$. Es ist einerseits

${\displaystyle {}e_{1}^{*}(ae_{1}+be_{2})=0\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}({\varphi }^{*}(e_{1}^{*}))(ae_{1}+be_{2})=e_{1}^{*}(\varphi (ae_{1}+be_{2}))=e_{1}^{*}(ae_{1}+be_{1}+be_{2})=e_{1}^{*}(be_{1}+ae_{1}+be_{2})=b\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}b\neq 0}$ und ${\displaystyle {}e_{1}^{*}\neq 0}$ sind ${\displaystyle {}e_{1}^{*}}$ und ${\displaystyle {}{\varphi }^{*}(e_{1}^{*})}$

${\displaystyle {}e_{1}^{*}}$