Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ . Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau dann trivial, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ voll zerlegt ist.

Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau gleich ${}G$ , wenn ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist.

Zu einem weiteren Primideal ${}{\mathfrak {q}}'$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ sind die Zerlegungsgruppen ${}G_{\mathfrak {q}}$ und ${}G_{{\mathfrak {q}}'}$ isomorph.

Es ist
${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=ef\,,$

wobei ${}e$ der gemeinsame Verzweigungsindex und ${}f$ der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.