(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).

(3). Nach Fakt gibt es ein ${\displaystyle {}\tau \in G}$ mit ${\displaystyle {}\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'}$. Mittels ${\displaystyle {}\tau }$ kann man direkt den Isomorphismus

${\displaystyle G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},}$

angeben. Es ist ja

${\displaystyle {}{\left(\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\right)}({\mathfrak {q}}')=\tau (\sigma (\tau ^{-1}({\mathfrak {q}}')))=\tau (\sigma ({\mathfrak {q}}))=\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\,.}$

(4). Wir zerlegen ${\displaystyle {}G}$ abhängig davon, auf welches Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ abgebildet wird, also

${\displaystyle {}G=\biguplus _{{\mathfrak {q}}'}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}\,.}$

Dabei ist die Untergruppe ${\displaystyle {}G_{\mathfrak {q}}}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja

${\displaystyle {}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}=\tau G_{\mathfrak {q}}\,,}$

wenn ${\displaystyle {}\tau }$ ein fixierter Automorphismus ist, der ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ in ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}'}$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es ${\displaystyle {}k}$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad ${\displaystyle {}n}$ hat und die Galoisgruppe somit ${\displaystyle {}n}$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe ${\displaystyle {}{\frac {n}{k}}}$ Elemente, was nach Fakt mit ${\displaystyle {}ef}$ übereinstimmt.