${\displaystyle {}v\in V}$

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,}$

die Norm von ${\displaystyle {}v}$.

${\displaystyle {}U\subseteq M}$

${\displaystyle {}x\in U}$

${\displaystyle {}\epsilon >0}$

${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,}$

existiert.

${\displaystyle v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),}$

auf einem Intervall ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ mit ${\displaystyle {}v'(t)=f(t,v)}$ für alle ${\displaystyle {}t\in J}$ und mit ${\displaystyle {}v(t_{0})=w}$.

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${\displaystyle {}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,}$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${\displaystyle {}n}$.

${\displaystyle \varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}}$

heißt ${\displaystyle {}C^{k}}$-Diffeomorphismus, wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ bijektiv und ${\displaystyle {}k}$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

${\displaystyle \varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}}$

ebenfalls ${\displaystyle {}k}$-mal stetig differenzierbar ist.

${\displaystyle V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${\displaystyle {}v\in V,\,v\neq 0}$, die induzierten Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

und für alle ${\displaystyle {}w\in V,\,w\neq 0}$, die induzierten Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

nicht die Nullabbildung sind.