${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}r}$

${\displaystyle {}U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,}$

definiert.

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${\displaystyle {}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,}$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${\displaystyle {}n}$.

${\displaystyle {}D_{i}}$

${\displaystyle {}i}$

${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}}$

die Hesse-Matrix zu ${\displaystyle {}f}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$.

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}(t,v)\in I\times \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle (t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times \mathbb {R} ^{n}}$

derart gibt, dass das auf ${\displaystyle {}I'\times U'}$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.