Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

Unter der Zariski-Topologie im affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
Die Menge ${}V$ heißt irreduzibel, wenn ${}V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung ${}V=Y\cup Z$ mit affin-algebraischen Mengen ${}Y,Z\subset V$ gibt.
Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Der Monoidring ${}K[M]$ ist der ${}K$ -Vektorraum
${}K[M]=\bigoplus _{m\in M}Ke_{m}\,$

mit Basis ${}e_{m}$ , ${}m\in M$ , und der auf den Basiselementen durch

${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

festgelegten Multiplikation.
Unter dem ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$ versteht man die Menge aller Elemente ${}x\in S$ , die ganz über ${}R$ sind,
Die Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ schneiden sich im Punkt ${}P\in V(F,G)$ transversal, wenn ${}P$ sowohl auf ${}V(F)$ als auch auf ${}V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt ${}P$ verschieden sind.

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