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Additionstheoreme (Kotangens)

Beweis für:

$\cot \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\cot \left(\alpha \right)\cdot \cot \left(\beta \right)\mp 1}{\cot \left(\beta \right)\pm \cot \left(\alpha \right)}}$

Es gilt:
${\begin{aligned}\cot \left(\alpha \pm \beta \right)&={\frac {\cot \left(\alpha \right)\cdot \cot \left(\beta \right)\mp 1}{\cot \left(\beta \right)\pm \cot \left(\alpha \right)}}\\&={\frac {{\frac {\cos \left(\alpha \right)}{\sin \left(\alpha \right)}}\cdot {\frac {\cos \left(\beta \right)}{\sin \left(\beta \right)}}\mp 1}{{\frac {\cos \left(\beta \right)}{\sin \left(\beta \right)}}\pm {\frac {\cos \left(\alpha \right)}{\sin \left(\alpha \right)}}}}\\&={\frac {\frac {\cos \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)}{\sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)}}{\frac {\cos \left(\beta \right)\cdot \sin \left(\alpha \right)\pm \cos \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)}{\sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)}}}\\&={\frac {\cos \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)}{\sin \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\pm \cos \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)}}\\&={\frac {\cos \left(\alpha \pm \beta \right)}{\sin \left(\alpha \pm \beta \right)}}\end{aligned}}$
Die Umformung zur vorletzten Zeile folgt aus den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus.

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