Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Satz des Heron

Die Fläche eines beliebigen Dreiecks ist mit den Seitenlängen ${\displaystyle a,b,c}$ ist

${\displaystyle F_{\Delta }={\sqrt {s\left({s-a}\right)\left({s-b}\right)\left({s-c}\right)}}}$

worin ${\displaystyle s}$ der halbe Umfang des Dreiecks ist

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Beweis:

Die Dreiecksfläche ist

(1)   ${\displaystyle F_{\Delta }={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}}$

nach Pythagoras

(2)  ${\displaystyle h_{c}^{2}=a^{2}-e^{2}}$

und

(3)  ${\displaystyle h_{c}^{2}=b^{2}-\left({c-e}\right)^{2}}$

(2) und (3) gleichgesetzt

(4.1)   ${\displaystyle a^{2}-e^{2}=b^{2}-\left({c-e}\right)^{2}}$

(4.2)   ${\displaystyle a^{2}-e^{2}=b^{2}-c^{2}+2ce-e^{2}}$

aufgelöst nach ${\displaystyle e}$

(5)   ${\displaystyle e={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}}$

Formel (2) nach der dritten binomischen Formel

(6)   ${\displaystyle h_{c}^{2}=\left({a-e}\right)\left({a+e}\right)}$

Formel (5) eingesetzt

(7.1)   ${\displaystyle h_{c}^{2}=\left({a-{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}}\right)\left({a+{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}}\right)}$

(7.2)   ${\displaystyle h_{c}^{2}=\left({\frac {2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2c}}\right)\left({\frac {2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)}$

umgestellt

(7.3)   ${\displaystyle h_{c}^{2}={\frac {\left[{b^{2}-\left({a^{2}-2ac+c^{2}}\right)}\right]\left[{-b^{2}+\left({a^{2}+2ac+c^{2}}\right)}\right]}{4c^{2}}}}$

zweite und erste binomische Formel angewendet

(7.4)   ${\displaystyle h_{c}^{2}={\frac {\left[{b^{2}-\left({a-c}\right)^{2}}\right]\left[{-b^{2}+\left({a+c}\right)^{2}}\right]}{4c^{2}}}}$

dritte binomische Formel angewendet

(7.5)   ${\displaystyle h_{c}^{2}={\frac {\left[{\left({b-a+c}\right)\left({b+a-c}\right)}\right]\left[{\left({a+c-b}\right)\left({a+c+b}\right)}\right]}{4c^{2}}}}$

(7.6)   ${\displaystyle h_{c}^{2}={\frac {\left({b-a+c}\right)\left({b+a-c}\right)\left({a+c-b}\right)\left({a+c+b}\right)}{4c^{2}}}}$

Formel (1) quadriert und Formel (7.6) eingesetzt

(8.1)   ${\displaystyle F_{\Delta }^{2}={\frac {c^{2}\cdot {\frac {\left({b-a+c}\right)\left({b+a-c}\right)\left({a+c-b}\right)\left({a+c+b}\right)}{4c^{2}}}}{4}}}$

(8.2)   ${\displaystyle F_{\Delta }^{2}={\frac {\left({b-a+c}\right)\left({b+a-c}\right)\left({a+c-b}\right)\left({a+c+b}\right)}{16}}}$

etwas umgestellt

(8.3)   ${\displaystyle F_{\Delta }^{2}={\frac {\left({a+b+c}\right)}{2}}{\frac {\left({-a+b+c}\right)}{2}}{\frac {\left({-b+a+c}\right)}{2}}{\frac {\left({-c+a+b}\right)}{2}}}$

mit dem halben Umfang

(9)   ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

und

(9.1)   ${\displaystyle s-a={\frac {-a+b+c}{2}}}$

und

(9.2)   ${\displaystyle s-b={\frac {-b+a+c}{2}}}$

und

(9.3)   ${\displaystyle s-c={\frac {-c+a+b}{2}}}$

Formel (9), (9.1), (9.2), (9.3) in Formel (8.3) eingesetzt

(10)   ${\displaystyle F_{\Delta }^{2}=s\left({s-a}\right)\left({s-b}\right)\left({s-c}\right)}$

oder

(11)   ${\displaystyle F_{\Delta }={\sqrt {s\left({s-a}\right)\left({s-b}\right)\left({s-c}\right)}}}$