Nach Voraussetzung enthält ${\displaystyle {}K}$ die ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln und damit ist ${\displaystyle {}K_{n}\subseteq K}$ nach Fakt. Insbesondere ist ${\displaystyle {}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{}{\left(K_{n}\right)}}$. Die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$

ist nach Fakt ein Isomorphismus. Wenn ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ galoissch ist, so ist ${\displaystyle {}K}$ nach Fakt auch galoissch über ${\displaystyle {}K_{n}}$ und die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismen lassen sich wegen Fakt nach ${\displaystyle {}K}$ fortsetzen.