Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe ${}G$ und es sei

{}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{n}\,

die Einheitswurzelgruppe zu ${}K$ .

Dann operiert ${}G$ in natürlicher Weise auf ${}\mu _{}{\left(K\right)}$ , d.h. es gibt einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times },\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )).$

Wenn eine Galoiserweiterung vorliegt, so ist diese Abbildung surjektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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