Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}}$ zwei Basen von ${\displaystyle {}V}$. Es sei

${\displaystyle {}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,}$

mit den Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{ij}\in K}$, die wir zur ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,}$

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${\displaystyle {}u}$, der bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ die Koordinaten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ die Koordinaten