Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Menge, ${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow W}$ eine Abbildung und ${\displaystyle {}L\colon V\rightarrow W}$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi }$ ist differenzierbar in ${\displaystyle {}P}$ mit dem totalen Differential ${\displaystyle {}L}$.
2. Der Limes

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}}$

   existiert und ist gleich ${\displaystyle {}0}$.

3. Der Limes

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}}$

   existiert und ist gleich ${\displaystyle {}0}$.