Wir nehmen an, dass ${\displaystyle {}f}$ nichtnegativ ist. Es seien

${\displaystyle s,t\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der Monotonie des Maßes die Beziehung

${\displaystyle {}\int _{I}s\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}f\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}t\,d\lambda ^{1}\,.}$

Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen ${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}t}$ sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von (halboffenen) Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral ${\displaystyle {}\int _{I}f\,d\lambda ^{1}}$ kleiner/gleich jeder Obersumme und größer/gleich jeder Untersumme von ${\displaystyle {}f}$. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der Obersummen bzw. das Supremum der Untersummen. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.