Prämaß/Rechenregeln/Fakt

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und ${}\mu$ ein Prämaß auf ${}{\mathcal {P}}$ .

Dann gelten folgende Aussagen.

Es ist ${}\mu (\emptyset )=0$ .

Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$ . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.

Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ gilt ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$ .

Seien ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ . Dann gilt
$\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n}).$

Sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfung in ${}{\mathcal {P}}$ . Dann ist
$\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n}),$

wobei diese Folge monoton wachsend ist.

Sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfung in ${}{\mathcal {P}}$ und sei ${}\mu (T_{0})<\infty$ vorausgesetzt. Dann ist
$\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n}),$

wobei diese Folge monoton fallend ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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