Sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}n}$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ besitzt genau ein maximales Ideal.